Математики продвинулись в решении гипотезы Какеи — геометрической задачи, над которой бились десятилетиями

0 0

Математики из Нью-Йоркского университета и Университета Британской Колумбии решили геометрическую задачу, над которой бились десятилетиями, — гипотезу Какеи в трёхмерном пространстве, которая изучает форму, оставляемую иглой, движущейся в нескольких направлениях.

Гипотеза Какеи была вдохновлена задачей, которую в 1917 году поставил японский математик Соити Какея: какова наименьшая возможная область, в которой можно повернуть иглу на 180 градусов в плоскости? Такие области называются наборами игл Какеи. Хонг Ван, доцент Института математических наук Куранта при Нью-Йоркском университете, а также Джошуа Зал, доцент кафедры математики в Университете Британской Колумбии, показали, что множества Какея, тесно связанные с множествами игл Какея, не могут быть "слишком маленькими". А именно, хотя эти множества могут иметь нулевой трёхмерный объём, они всё равно должны быть трёхмерными.

В теории геометрических мер был достигнут впечатляющий прогресс: Хонг Ван и Джошуа Зал только что опубликовали препринт, в котором решается трёхмерный случай печально известной гипотезы о множестве Какея.

Теренс Тао, профессор математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе

Эксперт получил в 2006 году Филдсовскую премию, которая вручается раз в четыре года математикам в возрасте до 40 лет.

Заведующий кафедрой математики в Институте Куранта Эяль Любецки указал, что речь идет об одном из главных математических достижений XXI века. Профессор Института Куранта Гвидо Де Филиппис назвал исследование замечательной работой, основанной на многолетних достижениях, которые расширили научное понимание сложной геометрии и вывели её на новый уровень. Он ожидает, что идеи авторов исследования приведут к ряду захватывающих открытий в ближайшие годы.

"Над этой проблемой работали многие величайшие математики мира, и не зря: помимо того, что она относительно проста в формулировке, но при этом чрезвычайно глубока, она связана со многими другими важными проблемами в гармоническом анализе и теории геометрических мер.

Пабло Шмеркин, профессор математики в Университете Британской Колумбии

Профессор указал, что опираясь на недавние достижения в этой области, это решение сочетает в себе множество новых идей и выдающееся техническое мастерство. Например, авторы смогли найти утверждение о пересечениях труб, которое является более общим, чем гипотеза Какеи, и которое легче доказать с помощью мощного подхода, известного как индукция по шкалам. Доказательство гипотезы Какеи требует глубокого понимания структуры взаимодействия трубок в трёхмерном евклидовом пространстве.

Этот результат не только является крупным прорывом в теории геометрических мер, но и открывает ряд захватывающих перспектив в гармоническом анализе, теории чисел и приложениях в информатике и криптографии.

Гвидо Де Филиппис, профессор Института Куранта

"Действительно, в некоторых задачах в этих областях релевантная информация может быть разделена на волновые пакеты — области пространства, в которых находятся электромагнитные или другие типы волн, — которые в основном сосредоточены в "крошечных трубках". Понимание пересечения этих трубок является основополагающим для понимания того, как эти информационные пакеты взаимодействуют друг с другом".

Суперкомпьютер рисует молекулярный план восстановления поврежденной ДНК.